Topic 43

Асимметричные криптосистемы

3. Криптосистема шифрования данных RSA

Алгоритм RSA предложили в 1978 г. три автора: Р.Райвест (Rivest), А.Шамир (Shamir) и А.Адлеман (Adleman). Алгоритм получил свое название по первым буквам фамилий его авторов. Алгоритм RSA стал первым полноценным алгоритмом с открытым ключом, который может работать как в режиме шифрования данных, так и в режиме электронной цифровой подписи.

Надежность алгоритма основывается на трудности факторизации больших чисел и трудности вычисления дискретных логарифмов.

В криптосистеме RSA открытый ключ К_A, секретный ключ К_B, сообщение М и криптограмма С принадлежат множеству целых чисел

Z_N={0,1,2,...,N-1}, (5)

где N - модуль:

N = P*Q. (6)

Здесь Р и Q - случайные большие простые числа. Для обеспечения максимальной безопасности выбирают Р и Q равной длины и хранят в секрете.

Множество Z_N с операциями сложения и умножения по модулю N образует арифметику по модулю N.

Открытый ключ К_A выбирают случайным образом так, чтобы выполнялись условия:

, (7)

, (8)

где - функция Эйлера.

Функция Эйлера указывает количество положительных целых чисел в интервале от 1 до N,которые взаимно просты с N.

Второе из указанных выше условий означает, что открытый ключ К_A и функция Эйлера должны быть взаимно простыми.

Далее, используя расширенный алгоритм Евклида, вычисляют секретный ключ k_B, такой, что

k_B * К_B = 1 (mod() (9)

или

Это можно осуществить, так как получатель В знает пару простых чисел (P,Q) и может легко найти . Заметим, что k_B и N должны быть взаимно простыми.

Открытый ключ К_B используют для шифрования данных, а секретный ключ k_B -для расшифрования.

Преобразование шифрования определяет криптограмму С через пару (открытый ключ К_B, сообщение М) в соответствии со следующей формулой:

(10)

В качестве алгоритма быстрого вычисления значения С используют ряд последовательных возведений в квадрат целого М и умножений на М с приведением по модулю N.

Обращение функции , т.е. определение значения М по известным значениям С, К_B и N, практически не осуществимо при N»2⁵¹².

Однако обратную задачу, т.е. задачу расшифрования криптограммы С, можно решить, используя пару (секретный ключ k_B, криптограмма С) по следующей формуле:

. (11)

Процесс расшифрования можно записать так:

D_B(Е_B (М)) = М. (12)

Подставляя в (12) значения (10) и (11), получаем:

или

(13)

Величина играет важную роль в теореме Эйлера, которая утверждает, что если НОД (х,N)=1, то

или в несколько более общей форме

(14)

Сопоставляя выражения (4.13) и (4.14), получаем

или, что то же самое,

Именно поэтому для вычисления секретного ключа k_B используют соотношение (9).

Таким образом, если криптограмму

возвести в степень k_B, то в результате восстанавливается исходный открытый текст М, так как

Таким образом, получатель В, который создает криптосистему, защищает два параметра:

секретный ключ k_B и

пару чисел (P,Q),

произведение которых дает значение модуля N. С другой стороны, получатель В открывает значение модуля N и открытый ключ К_B.

Противнику известны лишь значения К_B и N. Если бы он смог разложить число N на множители Р и Q, то он узнал бы "потайной ход" - тройку чисел {Р,Q, К_B}, вычислил значение функции Эйлера

и определил значение секретного ключа k_B.

Однако, как уже отмечалось, разложение очень большого N на множители вычислительно не осуществимо (при условии, что длины выбранных Р и Q составляют не менее 100 десятичных знаков).

Процедуры шифрования и расшифрования

в криптосистеме RSA

Предположим, что пользователь А хочет передать пользователю В сообщение в зашифрованном виде, используя криптосистему RSA. В таком случае пользователь А выступает в роли отправителя сообщения, а пользователь В - в роли получателя. Как отмечалось выше, криптосистему RSA должен сформировать получатель сообщения, т.е. пользователь В. Рассмотрим последовательность действий пользователя В и пользователя А.

1. Пользователь В выбирает два произвольных больших простых числа Р и Q.

2. Пользователь В вычисляет значение модуля N=Р*Q.

3. Пользователь В вычисляет функцию Эйлера

и выбирает случайным образом значение открытого ключа К_B с учетом выполнения условий:

4. Пользователь В вычисляет значение секретного ключа k_B, используя расширенный алгоритм Евклида при решении сравнения

5. Пользователь В пересылает пользователю А пару чисел (N, К_B) по незащищенному каналу.

Если пользователь А хочет передать пользователю В сообщение М, он выполняет следующие шаги.

6. Пользователь А разбивает исходный открытый текст М на блоки, каждый из которых может быть представлен в виде числа

М_i=0,1,2,...,N-1.

7. Пользователь А шифрует текст, представленный в виде последовательности чисел М, по формуле

и отправляет криптограмму

C₁, С₂, С₃,...,C_i, ...

пользователю В.

8. Пользователь В расшифровывает принятую криптограмму

C₁, С₂, С₃,...,C_i, ...,

используя секретный ключ k_B, по формуле

В результате будет получена последовательность чисел M_i, которые представляют собой исходное сообщение М. Чтобы алгоритм RSA имел практическую ценность, необходимо иметь возможность без существенных затрат генерировать большие простые числа, уметь оперативно вычислять значения ключей К_B и k_B.

Пример. Шифрование сообщения CAB. Для простоты вычислений будут использоваться небольшие числа. На практике применяются очень большие числа.

Действия пользователя В.

1. Выбирает Р=3 и Q=11.

2. Вычисляет модуль N=P*Q=3*11=33.

3. Вычисляет значение функции Эйлера для N=33:

Выбирает в качестве открытого ключа К_B произвольное число с учетом выполнения условий:

Пусть К_B=7.

4. Вычисляет значение секретного ключа k_B, используя расширенный алгоритм Евклида (см. приложение) при решении сравнения

К_B є T¹(mod20).

Решение дает k_B=3.

5. Пересылает пользователю А пару чисел (N= 3, k_B=7).

Действия пользователя А.

6. Представляет шифруемое сообщение как последовательность целых чисел в диапазоне 0 ... 32. Пусть буква А представляется как число 1, буква В - как число 2, буква С - как число 3. Тогда сообщение CAB можно представить как последовательность чисел 312, т.е. M₁ = 3, M₂= 1, M₃= 2.

7. Шифрует текст, представленный в виде последовательности чисел M₁, M₂ и M₃, используя ключ К_B = 7 и N = 33, по формуле

получает

Отправляет пользователю В криптограмму

C_1,C₂,C₃ =9, 1, 29.

Действия пользователя В.

8. Расшифровывает принятую криптограмму C_1,C₂,C₃, используя секретный ключ k_B=3, по формуле

получает

Таким образом, восстановлено исходное сообщение: CAB - 3 1 2.

Безопасность и быстродействие криптосистемы RSA

Безопасность алгоритма RSA базируется на трудности решения задачи факторизации больших чисел, являющихся произведениями двух больших простых чисел. Действительно, криптостойкость алгоритма RSA определяется тем, что после формирования секретного ключа k_B и открытого ключа К_B "стираются" значения простых чисел Р и Q, и тогда исключительно трудно определить секретный ключ k_B по открытому ключу К_B, поскольку для этого необходимо решить задачу нахождения делителей Р и Q модуля N.

Разложение величины N на простые множители Р и Q позволяет вычислить функцию и затем определить секретное значение k_B, используя уравнение

К_B * k_B є 1 (mod (j (N)).

Другим возможным способом криптоанализа алгоритма RSA является непосредственное вычисление или подбор значения функции j (N)= (Р -1)(Q -1). Если установлено значение j (N), то сомножители Р и Q вычисляются достаточно просто. В самом деле, пусть

x = P+Q = N-1 - j(N),

у = (Р - Q)² = (Р + Q)² - 4*N.

Зная j (N), можно определить х и затем у; зная х и у, можно определить числа Р и Q из следующих соотношений:

Однако эта атака не проще задачи факторизации модуля N [24].

Задача факторизации является трудно разрешимой задачей для больших значений модуля N.

Сначала авторы алгоритма RSA предлагали для вычисления модуля N выбирать простые числа Р и Q случайным образом, по 50 десятичных разрядов каждое. Считалось, что такие большие числа N очень трудно разложить на простые множители. Один из авторов алгоритма RSA, Р.Райвест, полагал, что разложение на простые множители числа из почти 130 десятичных цифр, приведенного в их публикации, потребует более 40 квадриллионов лет машинного времени. Однако этот прогноз не оправдался из-за сравнительно быстрого прогресса компьютеров и их вычислительной мощности, а также улучшения алгоритмов факторизации.

Один из наиболее быстрых алгоритмов, известных в настоящее время, алгоритм NFS (Number Field Sieve) может выполнить факторизацию большого числа N (с числом десятичных разрядов больше 120) за число шагов, оцениваемых величиной

В 1994 г. было факторизовано число со 129 десятичными цифрами. Это удалось осуществить математикам А.Ленстра и М.Манасси посредством организации распределенных вычислений на 1600 компьютерах, объединенных сетью, в течение восьми месяцев. По мнению А.Ленстра и М.Манасси, их работа компрометирует криптосистемы RSA и создает большую угрозу их дальнейшим применениям. Теперь разработчикам криптоалгоритмов с открытым ключом на базе RSA приходится избегать применения чисел длиной менее 200 десятичных разрядов. Самые последние публикации предлагают применять для этого числа длиной не менее 250 - 300 десятичных разрядов.

Была сделана попытка расчета оценок безопасных длин ключей асимметричных криптосистем на ближайшие 20 лет исходя из прогноза развития компьютеров и их вычислительной мощности, а также возможного совершенствования алгоритмов факторизации. Эти оценки (табл.1.) даны для трех групп пользователей (индивидуальных пользователей, корпораций и государственных организаций), в соответствии с различием требований к их информационной безопасности. Конечно, данные оценки следует рассматривать как сугубо приблизительные, как возможную тенденцию изменений безопасных длин ключей асимметричных криптосистем со временем.

Таблица 1.Оценка длин ключей для асимметричных криптосистем, бит

Год	Отдельные пользователи	Корпорации	Государственные организации
1995	768	1280	1536
2000	1024	1280	1536
2005	1280	1536	2048
2010	1280	1536	2048
2015	1536	2048	2048

Криптосистемы RSA реализуются как аппаратным, так и программным путем.

Для аппаратной реализации операций зашифрования и расшифрования RSA разработаны специальные процессоры. Эти процессоры, реализованные на сверхбольших интегральных схемах (СБИС), позволяют выполнять операции RSA, связанные с возведением больших чисел в колоссально большую степень по модулю N, за относительно короткое время. И все же аппаратная реализация RSA примерно в 1000 раз медленнее аппаратной реализации симметричного криптоалгоритма DES.

Одна из самых быстрых аппаратных реализации RSA с модулем 512 бит на сверхбольшой интегральной схеме имеет быстродействие 64 Кбит/с. Лучшими из серийно выпускаемых СБИС являются процессоры фирмы CYLINK, выполняющие 1024-битовое шифрование RSA.

Программная реализация RSA примерно в 100 раз медленнее программной реализации DES. С развитием технологии эти оценки могут несколько изменяться, но асимметричная криптосистема RSA никогда не достигнет быстродействия симметричных криптосистем.

Следует отметить, что малое быстродействие криптосистем RSA ограничивает область их применения, но не перечеркивает их ценность.

[Предыдущий раздел][Содержание][Следующий раздел]